Black-Scholes Model

Black–Scholes Model je matematický model oveňování aktiv, založený na předpokladu, že cena aktiva se vyvíjí jako stochastický proces, jinými slovy, cena aktiva v čase 1 je nezávislá na ceně v čase 0, vyvíjí se náhodně, v anglické terminologii se vyvíjí náhodnou chůzí (random walk). Nejčastěji se Black-Scholes model používá k oceňování opcí.

Základní myšlenkou modelu je, že cena opce je implictně dána vývojem ceny podkladového aktiva, pro konstrukční jednoduchost modelu se model zpravidla vysvětluje na likvidní akciích.

Model byl sestrojen ekonomy Blackem Fischerem a Myronem Scholesem a publikován v roce 1973. Tito pánové při sestrojování modelu stavěli na dřívějším výzkumu Edwarda O. Thorpa, Paula Samuelsona a Roberta C. Mertona. Merton a Scholes získali v roce 1997 za tento model a související práci nobelovu cenu v oblasti ekonomie. Black se Nobelovy ceny bohužel nedožil, zemřel v roce 1995.

Základní předpoklady modelu:

Pro pochopení a správnou funkčnost tohoto modelu je nutné brát zřetel na jeho předpoklady. Black-Scholes model je relativně složitou konstrukcí a neznalost jeho předpokladů může vést k chybám při jeho použití.

• Cena podkladového aktiva se vyvíjí podle geometrického brownova pohybu (speciální typ stochastického procesu) s konstantním posunem (odchylkou) a konstantní volatilitou. Předpoklad konstantní volatility je velice důležitý, je nutné si uvědomit, že volatilita aktiv se na trzích mění. Nutno upozornit nejen na to, že volatilita akcií se mění v čase, ale obzvláště důležitý fakt je i změna korelace aktiv. V období stresu volatilita na akciových trzích roste a prudce se zvyšuje i korelace mezi aktivy.
• Obchodování s podkladovým aktivem je kontinuální, v přeneseném smyslu likvidní. Cenu podkladového aktiva je možné stanovit v každém okamžiku. Toto je důvod, proč ocenění opce přes Black-Scholes model je nutné doplnit i o další nástroje pokud oceňujeme méně likvidní aktiva, například over-the-counter (OTC) instrumenty.
• Neexistují transakční náklady a daně.
• Zapůjčení hotovosti je možné za konstantní bezrizikovou úrokovou míru.
• Všechna aktiva jsou perfektně dělitelná (není problém koupit například 1/100 akcie).
• Na trhu neexistují příležitosti pro arbitráž. Toto je spíše technický předpoklad modelu.
• Technicky je možné podkladové aktivum prodat se záměrem pozdější koupě (short sell).

Praktickým výsledkem a težištěm Black-Scholesova modelu je následující rovnice:



kde


C(S,T) nám říká, že se jedná o rovnici ocenění evropské kupní (call) opce (opce splatná pouze v čase T, nelze ji uplatnit před dobou splatnosti), přičemž K je cena dodání akcie v současnosti oceněné jako S. Jinými slovy, rovnice oceňuje právo koupit akcii za cenu K v čase T. R je konstantní úroková míra a písmenko σ (delta) je volatilita (konstanta).

Výpočtem hodnot d1 a d2 se dostaneme k parametrům rovnice. Písmenko Φ (phi) představuje kumulativní distribuční funkci standardního normálního rozdělení. Kumulativní distribuční funkce standardního normálního rozdělení je tabularizovaná hodnota, zjednodušeně řečeno, parametru d odpovídá jakási hodnota Φ, která je vyjádřením kumulativní pravděpodobnosti v normálním rozdělení.

Cena put opce (právo prodat akcii za cenu K v čase T) se vypočte převodem přes put-call paritu, a to jako:



Výhodou Black-Scholesova modelu je jeho výpočtová nenáročnost a celosvětová rozšířenost. Provede se pár odhadů vstupních hodnot, vynásobí se pár čísel, najdou se hodnoty ve statistických tabulkách a máme cenu opce. Tento model je známý v celosvětové finanční praxi a opravdu se používá. Úskalí modelu je v použití správných vstupních dat. Podíváme-li se na předpoklady modelu, je jasné, že většina z nich je v opravdovém světě reálná jen omezeně. Nejen, že v reálném světě existují daně a transakční náklady, ale i další větší komplikace. Už jsme zmínili, že volatilita se mění v čase.

Volatilita je navíc proměnná i v závislosti na použitém podkladovém aktivu a na době splatnosti. Akcie jsou charakterizovány deformovanou křivkou volatility s negativním sklonem. Implikovaná (trhem očekávaná, domnělá) volatilita je vyšší u opcí vypsaných na akcie s nižšími dodacími cenami (strike price) a nižší pro opce s vyššími dodacími cenami (přestože mluvíme o totožném podkladovém aktivu, pouze dodací cena tvoří rozdíl ve volatilitě).

Světové měny mají křivku volatility více symetrickou než akcie. Opce v penězích (at-the-money) vypsané na měnu mají implikovanou volatilitu nejnižší zatímco opce v penězích (in-the-money) a mimo peníze (out-the-money) vykazují implikovanou volatilitu vyšší.

Komodity se vyznačují inverzním vztahem vůči akciím. Implikovaná volatilita u komoditních opcí je nejvyšší u vysokých dodacích cen a nejnižší u nízkých dodacích cen.

Základní Black-Scholes model nelze přímo aplikovat na dluhopisy, protože porušují předpoklad stochastického procesu vývoje cen i předpoklad konstantní volatility. Dluhopisy jsou charakterizovány takzvaným pull-to-par efektem. Jak se dluhopis blíží k době splatnosti, všechny ceny spojené s dluhopisem jsou známy se vzrůstající jistotou, což snižuje volatilitu. Oceňování opcí na dluhopisy se věnují rozšířené verze Black-Scholesova modelu.

V praxi je použití základní Black-Scholesovy rovnice ještě o něco složitější. Pokud podkladové aktivum vyplácí dividendy nebo jsou s jeho držbou spojeny náklady, je nutné použít rozšířenou verzi Black-Scholesova modelu. Základní verze rovněž předpokládá vypsání evropské opce (opce splatné pouze v době splatnosti). Americká opce (splatná klikoliv do doby splatnosti) vnáší do modelu další komplikace.

Black-Scholes Model