Opce - gamma

Opce je finanční kontrakt mezi dvěmi stranami, mezi kupujícím a prodávajícím, kde jedna strana má právo koupit podkladové aktivum (kupní/call opce), prodat podkladové aktivum (prodejní/put opce), zatímto druhá strana má povinnost být smluvní protistranou a poskytnout plnění kontraktu. Za tuto povinnost je povinnovaná strana kompenzována platbou od toho, kdo opci kupuje, takzvaný opční poplatek nebo option premium. Cena nebo hodnota opce závisí na mixu mnoha parametrů a jak se ty mění, mění se i cena opce.

Gamma, značka Γ, je jedním z matematických nástrojů, který se v oboru matematických financí používá k vyjádření závoslosti změny ceny opce na změně delty opce. Jinými slovy, gamma je citlivost na citlivost ceny opce v závislosti na zmeně ceny podkladového aktiva. V geometrickém vyjádření měří gamma zakřivení křivky funkce ceny opce, které nedokáže zachytit delta. Gammu lze slovně popsat i jako rychlost změny ceny opce v závislosti na vývoji podkladového aktiva.

Na uvedeném grafu je vidět, že gamma je nejvyšší pro opce v penězích, at-the-money, a nejnižší pokud je opce hluboko v penězích, in-the-money, nebo pokud naopak ani zdaleka nehrozí, že by opce měla nejakou hodnotu. V těchto oblastech mají změny v ceně podkladového aktiva velice malý vliv na cenu opce.

V praxi se používají ještě další nástroje vyjadřující citlivost opce na různé faktory, například vega jako citlivost opce na volatilitu podkladového aktiva, rho jako citlivost na změnu úrokových měr a další. V anglické terminologii se těmto nástrojům k měření citlivostí říká souhrnně "the Greeks", protože bývají nejčastěji vyjádřeny písmeny řecké abecedy (delta, theta, rho, atd.).

Greeks vyjadřují riziko opční pozice a jsou tedy velice důležitým nástrojem v risk managementu. Správnou volbou kombinace položek v portfoliu je možné ovlivnit greeks a tedy i rizikovost celého portfolia. Parametry citlivosti vypočtené pomocí Black-Scholesova modelu oceňování opcí jsou mezi analytiky finančních trhů oblíbené pro jejich snadný výpočet.

Pár důležitých praktických závěrů pro gammu opcí a gammu portfolia:

• Opce at-the-money mají nejvyšší gammu. Příklad 1: Změna ceny podkladového aktiva vyvolá jakousi změnu ceny opce. Například pokud se cena podkladové akcie změní o 1%, cena opce out-the-money se změní o 0,2%. Nyní dejme tomu, že cena akcie se změní o další procento, což vyvolá změnu ceny opce o 0,25%. Změna delty je 0,05%. Příklad 2: Nyní pokud se cena podkladové akcie změní o 1%, cena opce at-the-money se změní o 0,5%. Nyní dejme tomu, že cena akcie se změní o další procento, což vyvolá změnu ceny opce o 0,6%. Změna delty v závislosti na změně podkladového aktiva, tedy gama, je 0,1%.
• Krátké (short) pozice mají negativní gammu v případě call i put opcí.
• Gamma má stejný průběh pro call i put opce.
• Opce s krátkou dobou splatnosti mají vyšší gammu než dlouhodobé opce.
• Gamma se zvyšuje s přiblížením se opce k době splatnosti.
• Když je gamma vysoká, delta se prudce mění; když je gamma nízká, delta se mění jen málo.
• Futures mají konstantní gammu rovnu nule.

Jak už bylo uvedeno, gamma je měřítkem citlivosti hodnoty opce na změnu změnu citlivosti delta. Matematicky je gamma druhá derivace funkce hodnoty opce v závisloti na ceně podkladového aktiva. Schematicky je tuto definici možné vyjádřit jako:

,

kde d²V je hodnota opce a dS² je cena podkladového aktiva. V Black-Scholesově modelu se gamma počítá společně pro kupní a prodejní opci následovně:

,

přičemž

,

kde φ (phi) představuje kumulativní distribuční funkci standardního normálního rozdělení, r je bezriziková úroková míra, q výnos do doby splatnosti (dividend yield), σ volatilita, a T je čas do doby splatnosti, S cena podkladového aktiva, K dodací cena (strike price).

Opce - gamma